El cálculo integral, también conocido como cálculo
infinitesimal, es una rama de las matemáticas en la cual se estudia el cálculo
a partir del proceso de integración o antiderivación, es muy común en la
ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el
cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.Fue usado por
primera vez por científicos como Arquímedes, Descartes, Newton y Barrow,
éste último fue el que junto con aportes de Newton, crearon el Teorema
Fundamental del cálculo integral que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.Estudio de la pendiente de una curva.Estudio
del area bajo una curva.
Se entiende por métodos de integración cualquiera
de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.
Así, dada una función f(x), los métodos de integración
son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una
función F(x)
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el
teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de
antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer
de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal
función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere
confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.
El método de integración por sustitución o por
cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado
que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o
antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se
puede llevar a una integral de tabla para encontrar
fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.
El método de integración por partes es el que
resulta de aplicar el siguiente teorema:
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la
función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla nemotécnica
"ILATE":
1. Inversa
2. Logarítmica
3. Algebraica o polinómica
4.Trigonométrica
5.Exponencial.
Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica
y exponencial. Si seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotecnia
ALPES, asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:
1.Arcoseno(y cualquier trigonométrica inversa)
2.Logarítmica
3.Polinómica
4.Exponencial
5.Seno/coseno(y cualquier trigonométrica)
El cambio de variables es uno de los métodos más usados en
la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo
integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a
La primera. Para integrales simples de una
sola variable si es la variable original y es una función invertible
VÍDEO
REFERENCIAS:
